Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

an

2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，证明：c₁+c₂+…+c_n＞2n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件知Sn=

1

2

n2+

3

2

n，由此能求出a_n=n+1，n∈N^*．
（2）bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

，由此利用均值定理和放缩法能证明c₁+c₂+…+c_n＞2n．

解答： （1）解：∵函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，
点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，
当n=1时，a1=S1=

1

2

+

3

2

=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1，
当n=1时，也适合上式，
∴a_n=n+1，n∈N^*．
（2）证明：由（1）得bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

，
∴Tn=

2

20

+

3

2

+

4

22

+…+

n+1

2n-1

，①

1

2

Tn=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

，②
①-②，得：

1

2

Tn=2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=1+

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

1

2n-1

-

n+1

2n

，
∴T_n=6-

n+3

2n-1

．
（3）c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

≥2

n+1 n+2 • n+2 n+1

=2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2（1+2+3+n）=2×

n(n+1)

2

=n（n+1）＞2n．
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．

点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意错位相减法和均值定理的合理运用．