Question

7．已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为$\frac{3π}{4}$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C的极坐标方程为$ρ-\frac{3}{ρ}=2cosθ$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B，利用参数的几何意义求|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵$ρ-\frac{3}{ρ}=2cosθ$，∴ρ²-3=2ρcosθ，∴x²+y²-3=2x，
∴曲线C的直角坐标方程为：（x-1）²+y²=4，
∵直线l过点P（1，1），且倾斜角为$\frac{3π}{4}$，
∴直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{3π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.$（t为参数），
即$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（2）设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
将直线l与曲线C的方程得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，
∴t₁•t₂=3，∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=3．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．