Question

15．已知函数f（x）=（x+1）e^x-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax（a∈R，e是自然对数的底数）在（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设g（x）=（e^x+2m-2）x-$\frac{1}{2}{x^2}$-n，若?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m-$\frac{n}{2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导，根据导数的意义得出a=2，利用导函数得出函数的单调性；
（2）不等式整理为e^x≥2mx-n，恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数h（x）=e^x-2mx+n，利用导函数求出函数的最小值，进而得出结论．

解答 解：（1）f'（x）=（x+2）e^x-x-a，
由已知得f'（0）=2-a=0，得a=2，
则f'（x）=（x+2）（e^x-1）．
令f'（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
故函数的单调递增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）．
（2）不等式f（x）≥g（x），可化为e^x≥2mx-n，
记h（x）=e^x-2mx+n，h'（x）=e^x-2m，
当m≤0时，h'（x）＞0恒成立，则h（x）在R上递增，没有最小值，故不成立；
当m＞0时，令h'（x）=0，解得x=ln2m，当x∈（-∞，ln2m）时，h'（x）＜0；当x∈（ln2m，+∞）时，h'（x）＞0，
当x=ln2m时，函数h（x）取得最小值h（ln2m）=e^ln2m-2mln2m+n≥0，
即2m-2mln2m≥-n，则$2m-mln2m≥m-\frac{n}{2}$，
令F（m）=2m-mln2m（m＞0），F'（m）=1-ln2m，令F'（m）=0，则$m=\frac{e}{2}$，当$m∈（{0，\frac{e}{2}}）$时，F（m）＞0；
当$m∈（{\frac{e}{2}，+∞}）$时，F（m）＜0，
故当$m=\frac{e}{2}$时，F（m）取得最大值$F（{\frac{e}{2}}）=\frac{e}{2}$，
所以$\frac{e}{2}≥m-\frac{n}{2}$，即$m-\frac{n}{2}$的最大值为$\frac{e}{2}$．

点评 考查了导数的意义和利用导函数求函数的单调区间，求函数的最值．难点是函数的构造和最值的求解．