Question

18．已知函数f（x）=e^x（x-b）（b∈R）．若存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（-∞，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 求出f′（x），分离参数b，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：∵f（x）=e^x（x-b），
∴f′（x）=e^x（x-b+1），
若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得e^x（x-b）+xe^x（x-b+1）＞0，
即存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得b＜$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]递增，
∴g（x）_最大值=g（2）=$\frac{8}{3}$，
故b＜$\frac{8}{3}$，
故答案为：（-∞，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．