题目内容

8．函数f（x）=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，3）B．（-∞，3]C．（-∞，0）∪（0，3）D．（-∞，0）∪（0，3]

分析 求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ax3-3x2+x+1，
∴f′（x）=3ax2-6x+1，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3ax2-6x+1=0满足：a≠0，且△=36-12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（-∞，0）∪（0，3）．
故选：C．

点评 本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了方程思想．属于基础题．

练习册系列答案
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