Question

17．函数f（x）的零点与g（x）=4^x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是④（填写下列正确函数的序号）．
①f（x）=$\frac{4x-3}{x}$②f（x）=（x-1）²③f（x）=e^x-1④f（x）=4x-1．

Answer 1

分析 先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4^x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25．

解答 解：∵g（x）=4^x+2x-2在R上连续递增，且g（$\frac{1}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$＜0，g（$\frac{1}{2}$）=2+1-2=1＞0．
设g（x）=4^x+2x-2的零点为x₀，则$\frac{1}{4}$＜x₀＜$\frac{1}{2}$，
0＜x₀-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{4}$，∴|x₀-$\frac{1}{4}$|＜$\frac{1}{4}$．
又f（x）=$\frac{4x-3}{x}$零点为x=$\frac{3}{4}$；f（x）=（x-1）²零点为x=1；
f（x）=e^x-1零点为x=0；f（x）=4x-1零点为x=$\frac{1}{4}$，
故答案为④．

点评 本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法，属于基础题．