Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+a的图象在与y轴交点处的切线方程为y=bx+1．
（I）求实数a，b的值；
（II）若函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$（m-1）x²-（2m²-2）x-1的极小值为-$\frac{10}{3}$，求实数m的值；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥t|x₁-x₂|恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用函数f（x）的图象在与y轴交点为（0，a），求a的值，利用f′（0）=b，求实数a，b的值；
（II）若函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$（m-1）x²-（2m²-2）x-1的极小值为-$\frac{10}{3}$，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数m的值；
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥t|x₁-x₂|恒成立，则t≤|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂）恒成立，利用导数的几何意义，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）的图象在与y轴交点为（0，a），∴a=1，
又f′（x）=x²+x-2，∴f′（0）=b=2     …（4分）
（II）由（I）得f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$•mx²-2m²x，
∴g′（x）=（x+2m）（x-m）
（1）当m=0时，g′（x）=x²≥0恒成立，不存在极值； …（6分）  
（2）当m＜0时，由g′（x）＞0得x＜m或x＞-2m，由g′（x）＜0得m＜x＜-2m．
∴g（x）在（-∞，m），（-2m，+∞）上单调递增，在（m，-2m）单调递减，
∴g（x）_极小值=g（-2m）=$\frac{10}{3}{m}^{3}$=-$\frac{10}{3}$，∴m=-1；…（8分）
（3）当m＞0时，由g′（x）＞0得x＜-2m或x＞m，由g′（x）＜0得-2m＜x＜m，
∴g（x）在（-∞，-2m），（m，+∞）上单调递增，在（-2m，m）单调递减，
∴g（x）_极小值=g（m）=-$\frac{7}{6}{m}^{3}$=-$\frac{10}{3}$，∴m=$\frac{\root{3}{980}}{7}$．
综上所述，实数m=-1或m=$\frac{\root{3}{980}}{7}$     …（10分）
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥t|x₁-x₂|恒成立，
则t≤|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂）恒成立，
又在区间（-1，0）上一定存在x₀，使f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，∴f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
∵x∈[-1，0]，
∵f′（-1）=-2，f′（0）=-2，
∴t≤2…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，有难度．