Question

（1）解不等式组

3x2+x-2≥0 4x2-15x+9＞0

．
（2）设a≠b，解关于x的不等式a²x+b²（1-x）≥[ax+b（1-x）]²．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）分别求解两个一元二次不等式，最后取两个解集的交集，即可得到不等式组的解集；
（2）将不等式组进行化简变形，变形为（a-b）²（x²-x）≤0，根据a≠b，可以将不等式等价为x²-x≤0，求解即可得到不等式的解集．

解答： 解：（1）不等式组

3x2+x-2≥0 4x2-15x+9＞0

可变形为

(x+1)(3x-2)≥0 (x-3)(4x-3)＞0

，
即

x≤-1或x≥ 2 3 x＜ 3 4 或x＞3

，
解得x≤-1或

2

3

≤x＜

3

4

或x＞3，
∴不等式组

3x2+x-2≥0 4x2-15x+9＞0

的解集为{x|x＞3或

2

3

≤x＜

3

4

或x≤-1}；
（2）∵不等式a²x+b²（1-x）≥[ax+b（1-x）]²，
∴将原不等式变形为（a²-b²）x+b²≥（a-b）²x²+2（a-b）bx+b²，
整理可得，（a-b）²（x²-x）≤0，
又∵a≠b，
∴（a-b）²＞0，
∴x²-x≤0，
解得0≤x≤1，
∴不等式a²x+b²（1-x）≥[ax+b（1-x）]²的解集为{x|0≤x≤1}．

点评：本题考查了一元二次不等式组的解法，以及含有参数的不等式的解法．要求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．对于含有参数的一元二次不等式的解法要注意讨论根的大小．属于中档题．