Question

已知圆C：x²+y²-x-8y+m=0，点R是直线y=x上一动点，
（1）若圆C与直线y=x相离，过动点R作圆C的切线，求切线长的最小值的平方f（m）；
（2）若圆C与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点，R（1，1）且PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的一般方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由圆C方程算出圆心为C（

1

2

，4）、半径r=

65 4 -m

．根据题意，当动点R与点C直线y=x上的射影重合时切线长达到最小值，由此结合点到直线的距离公式与勾股定理加以计算，可得切线长的最小值的平方f（m）；
（2）利用PQ的中垂线方程与PQ方程联解，得到PQ的中点为M（0，3）．由PR⊥QR得|MP|=|MQ|=|MR|=

5

，算出|CM|=

5

2

并结合r²=|MQ|²+|CM|²建立关于m的等式，解之即可得到实数m的值．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-x-8y+m=0化成标准方程，得（x-

1

2

）²+（y-4）²=

65

4

-m．
∴圆心为C（

1

2

，4），半径r=

65 4 -m

，
又∵圆C与直线y=x相离，∴点C到直线y=x的距离大于半径r，
即d=

| 1 2 -4|

2

＞

65 4 -m

，即

7 2

4

＞

65 4 -m

，解得

81

8

＜m＜

65

4

．
根据圆切线的性质，可得当动点R与点C直线y=x上的射影重合时，
切线长达到最小值，
此时切线长l=

d2-r2

=

( 7 2 4 )2-( 65 4 -m)

=

m- 81 8

，
∴切线长的最小值的平方f（m）=m-

81

8

，其中

81

8

＜m＜

65

4

；
（2）∵圆的方程为(x-

1

2

)2+(y-4)2=

65

4

-m，圆心C（

1

2

，4），
∴过C作直线PQ垂线为：2x-y+3=0，
与x+2y-6=0联解，可得PQ的中点为M（0，3），
又∵PR⊥QR，
∴|MP|=|MQ|=|MR|=

(1-0)2+(1-3)2

=

5

，
∵|CM|=

( 1 2 -0)2+(4-3)2

=

5

2

，r²=|MQ|²+|CM|²，
∴

65

4

-m=5+

15

4

，解之得m=10．

点评：本题给出含有参数m的圆方程，在指定的条件下求m的值．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．