Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，AC与BD交于点O，BD⊥PC，AB=2$\sqrt{3}$；，BC=2，PA=6．
（I）求证：AC⊥BD：
（Ⅱ）若Q为PA上一点，且PC∥平面BDQ，求三棱锥P-BDQ的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥BD，BD⊥PC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明AC⊥BD．
（Ⅱ）连结OQ，∵推导出PC∥OQ，AD=6，$\frac{PQ}{QA}=\frac{1}{3}$，由三棱锥P-BDQ的体积V=V_P-ABD-V_Q-ABD，能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥PC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
∵AC?平面PAC，
∴AC⊥BD．
解：（Ⅱ）连结OQ，∵PC∥平面BDQ，PC?平面PAC，
平面PAC∩平面BDQ=OQ，
∴PC∥OQ，
在直角梯形ABCD中，
∵AC⊥BD，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，
∴AC=$\sqrt{4+12}$=4，BO=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}•2}{4}$=$\sqrt{3}$，
OC=$\sqrt{4-3}$=1，AO=4-1=3，
∵∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，∴BC∥AD，∴△BCO∽△DAO，
∴$\frac{BC}{AD}=\frac{OC}{AO}$，∴AD=$\frac{BC•AO}{OC}=\frac{2×3}{1}$=6．
∴$\frac{CO}{OA}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{PQ}{QA}=\frac{1}{3}$，
${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PA$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}）×6$=12$\sqrt{3}$，
V_Q-ABD=$\frac{3}{4}{V}_{P-ABD}$=9$\sqrt{3}$，
∴三棱锥P-BDQ的体积V=V_P-ABD-V_Q-ABD=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．