Question

13．已知点A，B分别是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． $\sqrt{3}$x±y=0
• B． x±$\sqrt{3}$y=0
• C． x±y=0
• D． $\sqrt{2}$x±y=0

Answer 1

分析 设M在双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左支上，由题意可得M的坐标为（-2a，$\sqrt{3}$a），代入双曲线方程可得a=b，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求值．

解答 解：设P在双曲线线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左支上，
且PA=PB=2a，∠PAB=120°，
则P的坐标为（-2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线方程可得，$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得a=b，
∴该双曲线的渐近线方程为x±y=0．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，运用任意角的三角函数的定义求得P的坐标是解题的关键．