Question

抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线

x2

3

-

y2

6

=1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用焦点F与双曲线

x2

3

-

y2

6

=1的右焦点重合，求出抛物线方程，过点P（2，0）且斜率为1的直线l的方程为y=x-2，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的定义，即可得出结论．

解答： 解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），则
∵焦点F与双曲线

x2

3

-

y2

6

=1的右焦点重合，
∴F（3，0），
∴

p

2

=3，
∴p=6，
∴抛物线方程为y²=12x．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
过点P（2，0）且斜率为1的直线l的方程为y=x-2，代入抛物线方程得x²-16x+4=0
∴x₁+x₂=16，
∴弦AB的中点到抛物线的准线的距离为

x1+x2+p

2

=11．
故答案为：11．

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．