Question

已知函数f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=0，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；
（2）求f（x）＜0恒成立，求参数a的取值范围，设h(x)=lnx-

(x-1)(ax-a+1)

x

，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅱ）f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）＜0，在（1，+∞）恒成立．
①若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数．
∴f（x）＞f（1）=0，
即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．
②∵x＞1，lnx-

(x-1)(ax-a+1)

x

＜0，在（1，+∞）恒成立，
不妨设h(x)=lnx-

(x-1)(ax-a+1)

x

，x∈（1，+∞）
h′(x)=-

ax2-x-a+1

x2

=-

(x-1)(ax+a-1)

x2

，x∈（1，+∞）
h′(x)=0，x1=1，x2=

1-a

a

，
若a＜0，则x2=

1-a

a

＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若0＜a＜

1

2

，x∈(1，

1-a

a

)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若a≥

1

2

，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（1）=0（符合题意）．
综上所述若x＞1时，f（x）＜0恒成立，则a≥

1

2

．

点评：本题考查了，函数的单调性与导函数的关系，并如何利用分类讨论的思想求函数在某区间上恒成立，参数的取值范围．