Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₃=8，a₅+a₇=160，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n；
（2）若数列{b_n}的通项公式为b_n=（-1）ⁿ•n（n∈N₊），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由等比数列的通项公式列出方程组解得a₁=2，q=2．所以an=a1•qn-1=2n．
（2）由（1）求出an•bn=n•(-2)n结合数列的特点利用错位相减法，可求前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由a₃=8，a₅+a₇=160，
解得a₁=2，q=2．所有an=a1•qn-1=2n．…（6分）
（2）∵bn=(-1)n•n，an=2n
∴an•bn=n•(-2)n
∴Tn=1•(-2)+2•(-2)2+3•(-2)3+     …    +n•(-2)n
-2Tn=          1•(-2)2+2•(-2)3+3•(-2)4+…+(n-1)•(-2)n+n•(-2)n+1
相减可得3Tn=(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n•(-2)n+1=

(-2)[1-(-2)n]

1-(-2)

-n•(-2)n+1
=

(-2)-(3n+1)•(-2)n+1

3

=-

(3n+1)•(-2)n+1+2

3

∴Tn=-

(3n+1)•(-2)n+1+2

9

…（12分）

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列及等比 数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和方法中的重点和难点．