Question

15．已知△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x-3y+10=0，BC：y-2=0，CA：3x-4y-5=0．
（1）求∠A的正切值的大小；
（2）求△ABC的重心坐标．

Answer 1

分析 （1）利用两条直线的夹角公式，求得∠A的正切值的大小．
（2）先联立方程组求得三个顶点的坐标，再利用三角形的重心坐标公式，求得△ABC的重心坐标．

解答 解：（1）∵△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x-3y+10=0，BC：y-2=0，CA：3x-4y-5=0，
∴tan∠A=|$\frac{{K}_{AB}{-K}_{AC}}{1{+K}_{AB}{•K}_{AC}}$|=|$\frac{\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}{1+\frac{4}{3}•\frac{3}{4}}$|=$\frac{7}{24}$．
（2）联立直线BC与AC的方程：$\left\{\begin{array}{l}{y-2=0}\\{3x-4y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{13}{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴C（$\frac{13}{3}$，2）．
同理求得A（-$\frac{55}{7}$，-$\frac{50}{7}$）、B（-1，2），
△ABC的重心为G，则由三角形重心坐标共式可得x_G=$\frac{-\frac{55}{7}+（-1）+\frac{13}{3}}{3}$=-$\frac{95}{63}$，y_G=$\frac{-\frac{50}{7}+2+2}{3}$=-$\frac{22}{21}$，
∴△ABC的重心坐标是$G（{-\frac{95}{63}，-\frac{22}{21}}）$．

点评 本题主要考查两条直线的夹角公式，求两条直线的交点坐标，三角形的重心坐标公式，属于中档题．