题目内容

5．已知z是纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i是虚数单位，a∈R），则|a+z|=（　　）
A．1B．$\sqrt{3}$C．2D．$\sqrt{5}$

分析 由（2+i）z=1+ai3，得$z=\frac{1+a{i}^{3}}{2+i}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，根据已知条件列出方程组，求解得到a的值，再求出z的值，由复数求模公式计算得答案．

解答 解：由（2+i）z=1+ai3，
得$z=\frac{1+a{i}^{3}}{2+i}$=$\frac{（1-ai）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{（2-a）-（1+2a）i}{5}$=$\frac{2-a}{5}-\frac{1+2a}{5}i$，
又∵z是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-a}{5}=0}\\{-\frac{1+2a}{5}≠0}\end{array}\right.$，
解得a=2．
∴z=-i．
则|a+z|=$|2-i|=\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

练习册系列答案
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