Question

7．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂有共同的左右焦点F₁，F₂，两曲线的离心率之积e₁•e₂=1，D是两曲线在第一象限的交点，则F₁D：F₂D=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}$-1（用a，b表示）

Answer 1

分析 设椭圆与双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0）的半焦距为c，PF₁=m，PF₂=n，利用椭圆、双曲线的定义，结合e₁•e₂=1可得aA=c²，即DF₂垂直于x轴，D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）．

解答 解：设双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0），
椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=m，PF₂=n．∴m+n=2a，m-n=2A．
∵e₁e₂=1，∵$\frac{c}{a}•\frac{c}{A}=1$．
⇒m²=n²+4c²⇒DF₂垂直于x轴⇒D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）⇒DF₂=$\frac{{b}^{2}}{a}$，DF₁=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，则F₁D：F₂D=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}-1$．
故答案为：$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}-1$

点评 本题考查了椭圆、双曲线的离心率，属于中档题．