Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为2，左焦点为F（-$\sqrt{2}$，0），过点D（0，3）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程及k的取值范围；
（2）在y轴上是否存在定点E，使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a²+b²=4，c=$\sqrt{2}$得a²，b²，设直线l：y=kx+3．把y=kx+3b²=1代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，消去y得（1+3k²）x²+18kx+24=0．则△=（18k）²-4×24（1+3k²）＞0，得k的取值范围；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{18k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}$，又y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=$\frac{-3{k}^{2}+9}{3{k}^{2}+1}$，y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=$\frac{6}{3{k}^{2}+1}$．假设存在点E（0，m），则$\overrightarrow{AE}=（-{x}_{1}，m-{y}_{1}），\overrightarrow{BE}=（-{x}_{2}，m-{y}_{2}）$，
⇒$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$═x₁x₂+m²-m（y₁+y_2^）+y₁y=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}+{m}^{2}-\frac{6{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+9}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{1+3{k}^{2}}$要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$（t为常数），只要$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{3{k}^{2}+1}=t$，从而$\frac{3{m}^{2}-3}{3}=\frac{{m}^{2}-6m+33}{1}$，解得m

解答 解：（1）由已知可得a²+b²=4，c=$\sqrt{2}$得a²=3，b²=1，$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
过点D（0，3）且斜率0为k的直线l：y=kx+3．
把y=kx+3b²=1代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，消去y得（1+3k²）x²+18kx+24=0．
则△=（18k）²-4×24（1+3k²）＞0
k＞$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或k＜-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以k的取值范围是（-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}）$∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}，+∞）$．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{18k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}$，又y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=$\frac{-3{k}^{2}+9}{3{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=$\frac{6}{3{k}^{2}+1}$．…（6分）
假设存在点E（0，m），则$\overrightarrow{AE}=（-{x}_{1}，m-{y}_{1}），\overrightarrow{BE}=（-{x}_{2}，m-{y}_{2}）$，
所以$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$═x₁x₂+m²-m（y₁+y_2^）+y₁y=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}+{m}^{2}-\frac{6{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+9}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{1+3{k}^{2}}$，…（8分）
要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$（t为常数），只要$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{3{k}^{2}+1}=t$，
从而$\frac{3{m}^{2}-3}{3}=\frac{{m}^{2}-6m+33}{1}$，
整理得6m=34，
解得m=$\frac{17}{3}$，从而t=$\frac{280}{9}$，
故存在定点E（0，$\frac{17}{3}$）．…（12分）

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，及定点问题，属于压轴题．