Question

已知函数f（x）=

a

2

x2-bx+lnx (a，b∈R）．
（Ⅰ） 若a=b=1，求f（x）点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ） 设a≤0，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 设a＜0，且对任意的x＞0，f（x）≤f（2），试比较ln（-a）与-2b的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）写出a=b=1时的函数f（x），求导，求出切线的斜率和切点，求得切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，讨论当a=0时，①若b≤0，②若b＞0，当a＜0时，分别求出单调增区间和减区间；
（Ⅲ）由题意知函数f（x）在x=2处取得最大值．由（ I I）知，

b- b2-4a

2a

是f（x）的唯一的极大值点，将ln（-a）与-2b作差，令g（x）=lnx+1-4x（x＞0），运用导数，判断单调性，即可比较．

解答： 解：（Ⅰ） a=b=1时，f(x)=

1

2

x2-x+lnx，f′(x)=x-1+

1

x

，
∴f(1)=-

1

2

，k=f'（1）=1，
故f（x）点（1，f（1））处的切线方程是2x-2y-3=0．
（Ⅱ）由f(x)=

a

2

x2-bx+lnx ，x∈(0 ，  +∞)，
得f′(x)=

ax2-bx+1

x

．
（1）当a=0时，f′(x)=

1-bx

x

．
①若b≤0，
由x＞0知f'（x）＞0恒成立，即函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②若b＞0，
当0＜x＜

1

b

时，f'（x）＞0；当x＞

1

b

时，f'（x）＜0．
即函数f（x）的单调递增区间是（0，

1

b

），单调递减区间是（

1

b

，+∞）．
（2）当a＜0时，f'（x）=0，得ax²-bx+1=0，
由△=b²-4a＞0得x1=

b+ b2-4a

2a

，x2=

b- b2-4a

2a

．
显然，x₁＜0，x₂＞0，
当0＜x＜x₂时，f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增，
当x＞x₂时，f'（x）＜0，函数f（x）的单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，

b- b2-4a

2a

），单调递减区间是（

b- b2-4a

2a

，+∞）．
综上所述：当a=0，b≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a=0，b＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，

1

b

），单调递减区间是（

1

b

，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，

b- b2-4a

2a

），
单调递减区间是（

b- b2-4a

2a

，+∞）． 
（Ⅲ）由题意知函数f（x）在x=2处取得最大值．
由（ I I）知，

b- b2-4a

2a

是f（x）的唯一的极大值点，
故

b- b2-4a

2a

=2，整理得-2b=-1-4a．
于是ln（-a）-（-2b）=ln（-a）-（-1-4a）=ln（-a）+1+4a
令g（x）=lnx+1-4x（x＞0），则g′(x)=

1

x

-4．
令g'（x）=0，得x=

1

4

，当x∈(0 ，  

1

4

)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈(

1

4

 ，  +∞)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
因此对任意x＞0，g（x）≤g(

1

4

)=ln

1

4

＜0，又-a＞0，
故g（-a）＜0，即ln（-a）+1+4a＜0，即ln（-a）＜-1-4a=-2b，
∴ln（-a）＜-2b．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．