Question

已知函数f（x）是（0，+∞）上的非常值函数，对任意x，y∈R，满足f（xy）=f（x）+f（y），且0＜x＜1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数
（3）若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，可得f（1）的值；
（2）用作差法证明，设0＜x₁＜x₂＜+∞，则0＜

x1

x2

＜1，则f（

x1

x2

）＜0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₂•

x1

x2

）即可得证；
（3）由（1）可得f（9）=2，进而可将f（a）＞f（a-1）+2，即为f（a）＞f（a-1）+f（9），又由f（x）在（0，+∞）为增函数，可得关于a的不等式组，解可得答案．

解答： 解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，
令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1）
则f（1）=0；
（2）设0＜x₁＜x₂＜+∞，则0＜

x1

x2

＜1，则f（

x1

x2

）＜0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₂•

x1

x2

）
=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）为增函数；
（3）由于f（3）=1，则f（9）=2f（3）=2，
则f（a）＞f（a-1）+2，即为f（a）＞f（a-1）+f（9），
即有f（a）＞f（9a-9），
又由f（x）在（0，+∞）为增函数，
则有

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

解得：1＜a＜

9

8

．
故a的取值范围是（1，

9

8

）．

点评：本题考查抽象函数的应用，涉及函数单调性的判断，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．