Question

数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列，且1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，前n项和为S_n，数列{b_n}是等差数列，b₁=8，前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及λ的值；
（Ⅱ）令C_n=

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

，求证：C_n≤

1

4

S_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得（1-a₂）²=a₁（1+a₃），从而an=(

1

2

)n，由已知得

T1=λb2 T2=2λb3

，从而

8=λ(8+d) 16+d=2λ(8+2d)

，由此求出b_n=8n．
（Ⅱ）利用裂项求和法求出c_n=

1

4

(1-

1

n+1

)，

1

4

Sn=

1

4

[1-(

1

2

)n]，由c_n≤

1

4

Sn，得

1

4

(1-

1

n+1

)≤

1

4

[1-(

1

2

)n]，由此能证明C_n≤

1

4

S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列，
且1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，
∴（1-a₂）²=a₁（1+a₃），
解得a1=

1

2

，∴an=(

1

2

)n，（2分）
由已知得

T1=λb2 T2=2λb3

，从而

8=λ(8+d) 16+d=2λ(8+2d)

，
解得λ=

1

2

，d=8，
解得b_n=8n．（4分）
（Ⅱ）c_n=

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n+1

）
=

1

4

(1-

1

n+1

)，

1

4

Sn=

1

4

[1-(

1

2

)n]，（8分）
c_n≤

1

4

Sn，即

1

4

(1-

1

n+1

)≤

1

4

[1-(

1

2

)n]，
∴n+1≤2ⁿ，（9分）
当n=1时，2ⁿ=n+1，（10分）
当n≥2时，
2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

=1+n+…+1＞n+1．
∴n+1≤2ⁿ成立．
∴C_n≤

1

4

S_n．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式及实数值的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．