Question

国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．
（1）写出每人需交费用y关于人数x的函数；
（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据自变量x的取值范围，分0＜x≤30或30＜x≤75列出函数解析式即可；
（2）利用（1）中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论．

解答： 解：（1）当0＜x≤30时，y=900；
当30＜x≤75，y=900-10（x-30）=1200-10x；
即y=

900，0＜x≤30 1200-10x，30＜x≤75

（2）设旅行社所获利润为S元，则
当0＜x≤30时，S=900x-15000；
当30＜x≤75，S=x（1200-10x）-15000=-10x²+1200x-15000；
即S=

900x-15000，0＜x≤30 -10x2+1200x-15000，30＜x≤75

因为当0＜x≤30时，S=900x-15000为增函数，
所以x=30时，S_max=12000；
当30＜x≤75时，S=-10x²+1200x-15000=-10（x-60）²+21000，
即x=60时，S_max=21000＞12000．
所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润．

点评：本题考查函数的应用问题，以及函数解析式的确定，考查运用配方法求二次函数的最值，以及考查学生对实际问题分析解答能力，属于中档题．