Question

已知定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
下面我们来考虑两个函数：f（x）=4^-x+p•2^-x+1，g(x)=

1-q•2x

1+q•2x

．
（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若q∈(

1

2

，

2

2

]，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：新定义

分析：（Ⅰ）根据有界函数的定义进行判断即可；
（Ⅱ）根据函数有界性的定义，求函数的最值即可求H（q）的取值范围；
（Ⅲ）根据函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，建立条件关系即可求实数p的取值范围．

解答： 解：（1）当p=1时，f（x）=4^-x+2^-x+1
∵f（x）在（-∞，0）上递减，
∴f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）．
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．
（2）g(x)=

2

1+q•2x

-1，
∵q＞0，x∈[0，1]，
∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），
即

1-2q

1+2q

≤g(x)≤

1-q

1+q

．
∵q∈(

1

2

，

2

2

]，
∴

1-q

1+q

≥-

1-2q

1+2q

，
∴|g(x)|≤

1-q

1+q

，
∴H(q)≥

1-q

1+q

，
即 [

1-q

1+q

，+∞)
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．-3≤f（x）≤3，
∴-4•2x-(

1

2

)x≤p≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤p≤[2•2x-(

1

2

)x]min
设2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，
设1≤t₁＜t₂，h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上递减，h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，
又p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，
∴p（t）在[1，+∞）上递增，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
∴实数p的取值范围为[-5，1]．

点评：本题主要考查函数有界性的应用，利用函数有界性的定义是解决本题的关键，考查学生的计算能力．