Question

在平面内，若三角形的面积为S，周长为C，则此三角形的内切圆的半径r=

2S

C

；在空间中，三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，利用类比推理的方法，求得此三棱锥P-ABC的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：由平面内三角形的内切圆的半径r=

2S

C

类比推理得出空间中三棱锥内切球的半径R=

3V

s1+s2+s3+s4

；代入计算即可．

解答： 解：∵平面内，三角形的面积为S，周长为C，则此三角形的内切圆的半径r=

2S

C

，如图；
设三角形的边长为a、b、c，则三角形的面积为

1

2

ra+

1

2

rb+

1

2

rc=

1

2

r（a+b+c）=

1

2

rC=S，
∴内切圆半径r=

2S

C

；
由此类推，设三棱锥的四个面的面积为s₁、s₂、s₃、s₄，内切球半径为R，如图；
则四棱锥的体积为

1

3

Rs₁+

1

3

Rs₂+

1

3

Rs₃+

1

3

Rs₄=

1

3

R（s₁+s₂+s₃+s₄）=V，
∴内切球半径R=

3V

s1+s2+s3+s4

=

3× 1 2 ×13

3× 1 2 ×12+ 3 4 ×( 2 )2

=

3- 3

6

；
故答案为：

3- 3

6

．

点评：本题考查了用类比推理的方法求三棱锥内切球半径的问题，是基础题．