Question

定义在R上的函数f(x)=e|x|+x

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，且f（x+t）＞f（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立，则关于x的方程f（x）=f（t）-e的根的个数叙述正确的是（　　）

• A、有两个
• B、有一个
• C、没有
• D、上述情况都有可能

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）的奇偶性和单调性之间的关系，确定t的取值范围，然后根据函数f（x）和y=f（t）-e的关系，即可求出方程根的个数．

解答： 解：∵函数f(x)=e|x|+x

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为偶函数，当且当x≥0时，函数f（x）=ex+x

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单调递增，
∴f（x）≥f（0）=1，
要使函数f（x+t）＞f（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
则等价为f（|x+t|）＞f（|x|）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
即|x+t|＞|x|在x∈（-1，+∞）上恒成立，
平方得x²+2tx+t²＞x²，即2tx＞-t²成立．
若t=0，不等式不成立．
若t＜0，不等式2tx＞-t²等价为x＜-

t

2

，此时不满足在x∈（-1，+∞）上恒成立．
若t＞0，不等式2tx＞-t²等价为x＞-

t

2

，此时要使在x∈（-1，+∞）上恒成立．
则-

t

2

≤-1，解得t≥2．
则f（t）-e=et+t

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-e，
∵t≥2，
∴f（t）-e=et+t

4

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-e＞e²+1-e＞1，
∴函数f（x）与y=f（t）-e有两个交点，
即方程f（x）=f（t）-e的根的个数为2个．
故选：A．

点评：本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数的单调性和奇偶性的关系判断t的取值范围是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想，综合性较强．