Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log₄a）+f（log

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4

a）≤2f（1），则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log₄a）+f（log

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a）≤2f（1），即为f（|log₄a|）≤f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，得到|log₄a|≤1，即有-1≤log₄a≤1，解出即可．

解答： 解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，
则f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由实数a满足f（log₄a）+f（log

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4

a）≤2f（1），
则有f（log₄a）+f（-log₄a）≤2f（1），
即2f（log₄a）≤2f（1）即f（log₄a）≤f（1），
即有f（|log₄a|）≤f（1），
由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则|log₄a|≤1，即有-1≤log₄a≤1，
解得，

1

4

≤a≤4．
故答案为：[

1

4

，4]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性和运用，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．