Question

16．已知$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，cosα+sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，则tanα=$4+\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方求得2sinαcosα的值，进一步求出sinα-cosα的值，与原等式联立求得sinα，cosα，再由商的关系求得tanα．

解答 解：由cosα+sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，两边平方得$co{s}^{2}α+si{n}^{2}α+2sinαcosα=\frac{5}{4}$，
∴$2sinαcosα=\frac{1}{4}$，
∵$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，∴sinα＞cosα，
则sinα-cosα=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}=\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α-2sinαcosα}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinα-cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{sinα+cosα=\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，解得sinα=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}$．
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$4+\sqrt{15}$．
故答案为：$4+\sqrt{15}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式等应用，是基础的计算题．