Question

4．已知正实数x，y，则$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$的最小值为$\frac{31}{4}$．

Answer 1

分析 当x-y＞0时，去绝对值后平方，利用基本不等式求最值；当x-y≤0时，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$=$（-x+\frac{16}{x}）+（{y}^{2}+y）$，由该函数在x∈（0，y]上单调递减可得
$f（x，y）≥（-y+\frac{16}{y}）+（{y}^{2}+y）={y}^{2}+\frac{16}{y}$，然后利用导数求最值．

解答 解：当x-y＞0时，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$=$（x+\frac{16}{x}）+（{y}^{2}-y）=（x+\frac{16}{x}）+（y-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$$≥2\sqrt{x•\frac{16}{x}}-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$，
当且仅当x=4，y=$\frac{1}{2}$时取得“=”；
当x-y≤0时，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$=$（-x+\frac{16}{x}）+（{y}^{2}+y）$，该函数在x∈（0，y]上单调递减，
∴$f（x，y）≥（-y+\frac{16}{y}）+（{y}^{2}+y）={y}^{2}+\frac{16}{y}$，
再设$h（y）={y^2}+\frac{16}{y}$（y∈（0，+∞）），则由h′（y）=$\frac{2{y}^{3}-16}{{y}^{2}}=0$，
得y=2，可得h（y）_min=h（2）=12＞$\frac{31}{4}$，
综上可知，$f（x，y）=|x-y|+\frac{16}{x}+{y^2}$的最小值为$\frac{31}{4}$，
故答案为：$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查分类讨论的数学思想方法，考查数学转化思想方法及利用导数求最值，属难题．