Question

6．设函数$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）+{sin^2}x$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，求出它的最小正周期；
（2）求出$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时f（x）的值域，即可得出f（x）的最大、最小值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）+{sin^2}x$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$）+sin²x
=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）+$\frac{1-cos2x}{2}$
=-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$；
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）当$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin2x∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$]，
即f（x）的最大值为$\frac{{2-\sqrt{3}}}{4}$，最小值为0．

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．