Question

如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′．
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，计算出大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积，可得结论；
（2）先计算大棱锥的侧面面积，再求截得的棱台的侧面面积和表面积．

解答： 解：（1）设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，
∴大棱锥的侧面面积为6×

1

2

×2a×2h=12ah，小棱锥的侧面面积为6×

1

2

ah=3ah，
∴棱台的侧面面积为9ah，
∴大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比为4：1：3；
（2）∵小棱锥的底面边长为4cm，
∴大棱锥的底面边长为8cm，
∵大棱锥PO的侧棱长为12cm，
∴斜高为

144-16

=8

2

，
∴大棱锥的侧面面积为

1

2

×8×8

2

=32

2

，
∴棱台的侧面面积为24

2

，
棱台的上底面积为6×

3

4

×4²=24

3

，下底面积为6×

3

4

×8²=96

3

，
∴截得的棱台的表面积为120

3

+32

2

cm²．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．