Question

已知函数f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1．
（1）若函数的一个零点在原点，①求m的值；②求当x∈[-1，2]时f（x）的值域；
（2）若0＜m＜

1

2

，求证f（x）在（0，1）上有一个零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数的一个零点在原点可知f（0）=0，从而解出m；再由配方法求值域；
（2）说明函数连续且f（0）•f（1）＜0即可．

解答： 解：（1）①由题意，2m-1=0，
解得m=

1

2

；
②f（x）=3x²+2x=3（x+

1

3

）²-

1

3

，
∵x∈[-1，2]，
∴-

1

3

≤f（x）≤16，
则f（x）的值域为[-

1

3

，16]；
（2）证明：∵函数f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1在[0，1]上连续，
又∵0＜m＜

1

2

，
∴f（0）=2m-1＜0，f（1）=2m+2+4m+2m-1=8m+1＞0；
∴f（x）在（0，1）上有一个零点．

点评：本题考查了函数的零点的判断与应用，及配方法求函数的值域，属于基础题．