Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
①对?x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）；
②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
（1）求f（16）的值；
（2）证明：对?m∈Z，有f（2^m）=0；
（3）是否存在整数n，是的f（2ⁿ+1）=9？若存在，求出相应的n的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：连续利用题中第①②个条件得到（1）（2）；利用反证法及2^x变化如下：2，4，8，16，32，可得结论．

解答： 解：（1）f（16）=2f（8）=4f（4）=8f（2）=0；
（2）∵对?x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x），
∴f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），
∵当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，
∴f（2）=0，
∴对?m∈Z，有f（2^m）=0；
（3）f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，2x1-2x2=10，又，2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误．

点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．