Question

14．设a，b，c，d为正数，且a+b+c+d=1．证明：
（1）${a^2}+{b^2}+{c^2}+{d^2}≥\frac{1}{4}$；
（2）$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}≥1$．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式直接证明即可．
（2）法一：利用分析法，不妨设a≥b≥c≥d，直接证明即可．
法二：利用$\frac{a^2}{b}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，$\frac{c^2}{d}+d≥2c$，$\frac{d^2}{a}+a≥2d$，然后求和证明即可．

解答 证明：（1）∵（a²+b²+c²+d²）•（1+1+1+1）≥（a+b+c+d）²=1，
∴${a^2}+{b^2}+{c^2}+{d^2}≥\frac{1}{4}$当且仅当$a=b=c=d=\frac{1}{4}$时，等号成立…（6分）
（2）（法一）不妨设a≥b≥c≥d，则a²≥b²≥c²≥d²，$\frac{1}{d}≥\frac{1}{c}≥\frac{1}{b}≥\frac{1}{a}$，
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}≥\frac{a^2}{a}+\frac{b^2}{b}+\frac{c^2}{c}+\frac{d^2}{d}=a+b+c+d=1$，
当且仅当$a=b=c=d=\frac{1}{4}$时，等号成立…（12分）
（法二）∵$\frac{a^2}{b}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，$\frac{c^2}{d}+d≥2c$，$\frac{d^2}{a}+a≥2d$，
以上各式相加得，$\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{d}+d+\frac{d^2}{a}+a≥2a+2b+2c+2d$，
即$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}≥a+b+c+d$，
当且仅当$a=b=c=d=\frac{1}{4}$时，等号成立…（12分）

点评 本题考查不等式的证明，柯西不等式以及分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力．