Question

8．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为两个非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，且B（1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{OM}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{b}$（λ₁，λ₂∈R），求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$，结合向量的数量积公式求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（Ⅱ）利用M（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{OM}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{b}$（λ₁，λ₂∈R），得（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$）=λ₁（-1，$\sqrt{3}$）+λ₂（1，0），求出λ₁，λ₂，即可求λ₁+λ₂的值．

解答 解：（Ⅰ）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则
∵|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
∴|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=120°；
（Ⅱ）$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，0），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），
∵M（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{OM}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{b}$（λ₁，λ₂∈R），
∴（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$）=λ₁（-1，$\sqrt{3}$）+λ₂（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{λ}_{1}+{λ}_{2}=\frac{1}{2}}\\{\sqrt{3}{λ}_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right.$，
∴λ₁=$\frac{5}{6}$，λ₂=$\frac{8}{6}$，
∴λ₁+λ₂=$\frac{13}{6}$．

点评 本题考查向量数量积公式，考查平面向量基本定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．