Question

17．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+a）．
（ I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；
（ II）当a≤2时，证明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，设切点为（m，e^m），求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；再设y=g（x）相切的切点为（x₀，y₀），求出导数和切线的斜率，解方程组可得a的值；
（II）当a≤2时，f（x）＞g（x）即证e^x-ln（x+a）≥0，分别通过图象说明e^x≥x+1；ln（x+2）≤x+1，即可得证．

解答 解：（I）函数f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
设切点为（m，e^m），f′（m）=e^m=$\frac{{e}^{m}}{m}$，
解得m=1，
则f（1）=e，f′（1）=e，
易得f（x）=e^x过原点的公切线为y=ex，
故y=ex为g（x）=ln（x+a）的切线，
设切点为（x₀，y₀），则有：
$\left\{\begin{array}{l}{ln（{x}_{0}+a）=e{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}+a}=e}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{2}{e}$；
（II）证明：当a≤2时，f（x）＞g（x）即证e^x-ln（x+a）≥0，
由y=e^x和直线y=x+1的图象可得，e^x≥x+1；
由y=ln（x+2）和直线y=x+1的图象可得，ln（x+2）≤x+1，
则e^x-ln（x+2）≥（x+1）-（x+1）=0，
可得e^x-ln（x+2）≥0，
即e^x≥ln（x+a），
则f（x）＞g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，考查运算化简能力，属于中档题．