Question

20．设$\sqrt{3}$b是1-a和1+a的等比中项（a＞0，b＞0），则a+$\sqrt{3}$b的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 推导出a²+3b²=1，令a=cosθ，$\sqrt{3}$b=sinθ，θ∈（0，2π），由此利用三角函数性质能求出a+$\sqrt{3}$b的最大值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$b是1-a和1+a的等比中项（a＞0，b＞0），
∴$\sqrt{3}b$=$\sqrt{（1-a）（1+a）}$=$\sqrt{1-{a}^{2}}$，
∴a²+3b²=1，
∵a＞0，b＞0，
∴令a=cosθ，$\sqrt{3}$b=sinθ，θ∈（0，2π）．
则：a+$\sqrt{3}$b=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$．
∴a+$\sqrt{3}$b的最大值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两数和的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、换元法、三角函数性质的合理运用．