Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，侧棱PA=PD，O为AD边的中点，M为线段PC上的定点．
（1）求证：平面PAD⊥平面POB；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{7}$，PB=$\sqrt{13}$，且直线PA∥平面MOB，求三棱锥P-MOB的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明AD⊥平面POB得出平面PAD⊥平面POB；
（2）连接AC交OB与N，连接BD交AC于E，连接MN，则PA∥MN，计算OP得出M到平面ABCD的距离d，则V_P-MOB=V_A-MOB=$\frac{1}{3}$S_△AOB•d．

解答 证明：（1）∵PA=PD，O是AD的中点，
∴PO⊥AD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴OB⊥AD，
又PO?平面PAD，AD?平面PAD，
∴OB⊥平面PAD，
又OB?平面POB，
∴平面PAD⊥平面POB．
（2）∵△PAD是等腰三角形，AD=AB=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{7}$，
∴AO=$\frac{1}{2}AD=\sqrt{3}$，∴OP=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=2，
连接AC交OB与N，连接BD交AC于E，连接MN，
∵PA∥平面OMB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面OMB=MN，
∴PA∥MN，
∴$\frac{PM}{PC}=\frac{AN}{AC}$，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AN=$\frac{2}{3}$AE，AC=2AE，
∴$\frac{PM}{PC}=\frac{AN}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴M到平面ABCD的距离d=$\frac{2}{3}$PO=$\frac{4}{3}$．
∴V_P-MOB=V_A-MOB=$\frac{1}{3}$S_△AOB•d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．