Question

18．已知函数f（x）=xlnx
（1）求f（x）的极值
（2）当${x_1}，x{\;}_2∈（\frac{1}{e}，1）$且x₁＜1-x₂时，求证：lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）得到$ln{x_2}+ln{x_1}＜（2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}）ln（{x_1}+{x_2}）$，根据ln（x₁+x₂）＜0，$2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}≥4$，证明即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
因为f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0；当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{e}$），单调递增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞），
故当$x=\frac{1}{e}$时，f（x）取得极小值$-\frac{1}{e}$；
证明：（2）依题意，f（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞f（x₁）=x₁lnx₁，
所以$ln{x_1}＜（1+\frac{x_2}{x_1}）ln（{x_1}+{x_2}）$，同理$ln{x_2}＜（1+\frac{x_1}{x_2}）ln（{x_1}+{x_2}）$，
两式相加得，$ln{x_2}+ln{x_1}＜（2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}）ln（{x_1}+{x_2}）$，
因为0＜x₁+x₂＜1，所以ln（x₁+x₂）＜0，
而$2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}≥4$，故lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，不等式的证明，是一道中档题．