Question

13．设$f（x）=3sin\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}$，将函数y=f（x）的图象上所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的最大值为g（θ），则$cos（{θ+\frac{π}{6}}）$为-$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，辅助角公式化简g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值求得θ的值，可得$cos（{θ+\frac{π}{6}}）$的值．

解答 解：把$f（x）=3sin\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}$ 的图象上所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到
函数y=g（x）=3sin$\frac{x-\frac{π}{3}}{2}$-2cos$\frac{x-\frac{π}{3}}{2}$
=3sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{9+4}$[$\frac{3}{\sqrt{13}}$•sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-$\frac{2}{\sqrt{13}}$cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）]=$\sqrt{13}$sin[（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-α]的图象，
其中，cosα=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
故当（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，即x=4kπ+2α+$\frac{4π}{3}$时，
函数g（x）的最大值为g（θ），故θ=4kπ+2α+$\frac{4π}{3}$，
则$cos（{θ+\frac{π}{6}}）$=cos（4kπ+2α+$\frac{4π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{3π}{2}$）
=-sin2α=-2sinαcosα=-2•$\frac{3}{\sqrt{13}}$•$\frac{2}{\sqrt{13}}$=-$\frac{12}{13}$，
故答案为：-$\frac{12}{13}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，辅助角公式以及正弦函数的最值，属于中档题．