Question

设f（x）是R上的奇函数，且对任意的实数a，b，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a），f（b）的大小；
（2）若存在实数x∈[

1

2

，

3

2

]，使得不等式f（x-c²）＞0成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据单调性的定义判断f（x）在R上的单调性：设x₁＜x₂，根据已知条件便可得到

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，从而得到f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在R上单调递增，所以若a＞b，便有f（a）＞f（b）；
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，所以原不等式等价于f（x-c²）＞f（0），根据f（x）的单调性便得x-c²＞0，所以c²＜x，因为x∈[

1

2

，

3

2

]，所以c2＜

3

2

，解该不等式即得c的取值范围．

解答： 解：（1）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则根据已知条件有：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0；
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函数；
∵a＞b，∴f（a）＞f（b）；
（2）f（0）=0，f（x）在R上是增函数；
∴由f（x-c²）＞0得f（x-c²）＞f（0）；
∴x-c²＞0，即c²＜x；
∴c2＜

3

2

，-

6

2

＜c＜

6

2

；
∴实数c的取值范围是(-

6

2

，

6

2

)．

点评：考查函数单调性的定义，以及根据定义证明函数的单调性，f（x）在R上是奇函数时f（0）=0．