Question

已知直线ysinα-xcosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π]．有以下结论：
①直线l的倾斜角为α；
②无论α为何值时，直线l总与一定圆相切；
③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x²+y²≥1．
其中正确的结论为

 

．（填序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：举例说明①错误；由原点到直线l的距离为定值1说明②正确；
求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，由三角函数的值域说明③正确；
由②得结论说明④正确．

解答： 解：①当α=2π时，直线方程为x=-1，倾斜角为

π

2

，命题①错误；
②由原点（0，0）到直线ysinα-xcosα=1的距离为d=

|1|

sin2α+cos2α

=1，
∴无论α为何值时，直线l总与一定圆x²+y²=1相切，命题②正确；
③化直线方程为截距式：

x

- 1 cosα

+

y

1 sinα

=1，则直线在x轴、y轴上的截距分别为：
-

1

cosα

，

1

sinα

．直线与两坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

|

1

-cosα

||

1

sinα

|=

1

|sin2α|

≥1．命题③正确；
④P（x，y）是直线l上的任意一点，由②可知，直线l总与一定圆x²+y²=1相切，
∴x²+y²≥1，命题④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线和圆的位置关系，训练了三角函数的有界性，是基础题．