Question

已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：
①sinα，sinβ，sinγ；②sin²α，sin²β，sin²γ；
③cos²

α

2

，cos²

β

2

，cos²

γ

2

；④tan

α

2

，tan

β

2

，tan

γ

2

；
分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c，分别判断两个较小的边与最大边的差是否一定大于0，可得答案．

解答： 解：设α，β，γ的对边分别为a，b，c，
不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c
则①中，sinα=

a

2R

，sinβ=

b

2R

，sinγ=

c

2R

；则

a

2R

+

b

2R

＞

c

2R

，故一定能构成三角形；
②中，sin²α=

a2

4R2

，sin²β=

b2

4R2

，sin²γ=

c2

4R2

；由

a2

4R2

+

b2

4R2

-

c2

4R2

仅在a²+b²-c²＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形；
③中，cos²

α

2

，cos²

β

2

，cos²

γ

2

，此时cos²

α

2

≥cos²

β

2

≥cos²

γ

2

，由cos²

β

2

+cos²

γ

2

-cos²

γ

2

=

cosβ+cosγ-cosα

2

+

1

2

＞0恒成立，故一定能构成三角形；
④中，当α=β=30°时，tan

α

2

+tan

β

2

-tan

γ

2

＜0，故不一定能构成三角形；
故答案为：①③

点评：本题考查了构成三角形的条件，三角函数的图象和性质，是三角函数较为综合的考查，难度较大，属于难题．