Question

已知函数f（x）=mx²+3（m-4）x-9，m为常数
（1）判断函数f（x）是否存在零点，若存在指出存在几个；
（2）若函数f（x）存在两个零点x₁，x₂，试确定实数m的值，使两个零点间的距离最小，并求出这个最小距离；
（3）设m＞0，当x∈[-3，-

3

2

]时，f（x）的值域为{y|0≤y≤27}，求m的值．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分别讨论m=0和m≠0两种情况，利用一次函数和二次函数的零点判断方法分别判断零点个数；
（2）利用韦达定理，将d=|x₁-x₂|转化为关于m的函数，利用配方法求最值即可；
（3）若x∈[-3，-

3

2

]时，f（x）的值域为{y|0≤y≤27}，则f（x）在[-3，-

3

2

]单调，由f（-3）=27，可得：f(-

3

2

)=0，进而得到m的值．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=-12x-9，函数的零点为x=-

3

4

，即函数只有一个零点．
当m≠0时，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0，
∴函数f（x）的零点的个数为2．
故当m=0时，函数f（x）的零点的个数为1；当m≠0时，函数f（x）的零点的个数为2；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，则m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=

-9

m

，
∴d=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

( 12-3m m )2+ 36 m

=12

(m- 1 8 )2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

（m=8时取等号），
∴d=|x₁-x₂|的最小值为

3 3

2

；
（3）若x∈[-3，-

3

2

]时，f（x）的值域为{y|0≤y≤27}，
则f（x）在[-3，-

3

2

]单调，
∵f（-3）=27，
∴f(-

3

2

)=0
即-

9

4

m+9=0，解得m=4

点评：本题考查了二次函数零点判断方法，二次方程根与系数关系的应用，不等式恒成立问题的解法及配方法求二次函数的最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．