Question

已知椭圆E经过A（1，

3

2

），一个焦点坐标为（-1，0），求以P（1，

3

2

）为中点的弦所在直线方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由条件可得，c=1，设出椭圆方程，代入A的坐标，结合a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆方程，设出以P为中点弦的端点的坐标，代入椭圆方程，运用作差法，结合平方差公式和中点坐标公式和斜率公式，即可得到中点弦的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求方程．

解答： 解：椭圆E经过A（1，

3

2

），一个焦点坐标为（-1，0），
则c=1，即有a²-b²=1，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
代入点（1，

3

2

），得

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得，a=2，b=

3

，
则有椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
由于P的坐标满足

1

4

+

3

4×3

＜1，即P在椭圆内．
则以P（1，

3

2

）为中点的弦与椭圆相交，
设端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=

3

，

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
两式相减得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0，
则有中点的弦的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

3×2

4 3

=-

3

2

．
即有中点的弦所在直线方程为y-

3

2

=-

3

2

（x-1），
即为y=-

3

2

x+

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查中点弦方程的求法：点差法，考查中点坐标公式和斜率公式，考查运算能力，属于中档题．