Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x）=f（

x

y

）+f（y），若f（3）=1，f（x）-f（

1

x-5

）≥2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：注意到f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，故不等式可能应用函数的单调性求解，故先求2=f（9）；再化为函数的单调性求解．

解答： 解：∵f（x）=f（

x

y

）+f（y），
∴f（9）=f（

9

3

）+f（3）=1+1=2；
f（x）-f（

1

x-5

）=f（x（x-5））；
故f（x）-f（

1

x-5

）≥2可化为
f（x（x-5））≥f（9），
又∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
则

x(x-5)≥9 x＞0 x-5＞0

；
解得，x＞

5+ 61

2

．

点评：本题考查了函数的单调性的应用及学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．