Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）在区间[

1

2

，4]上取得最大值为5，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的单调性定义，在给定的区间上取值，作差，判正负，下结论，即可证得；
（2）函数f（x）=

1

a

-

1

x

在区间[

1

2

，4]上是增函数，即可求实数a的值．

解答： 解：（1）设任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

1

a

-

1

x

在区间（0，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）=

1

a

-

1

x

在区间[

1

2

，4]上是增函数
∴f（4）=5，
∴a=

4

21

．

点评：本题考查了用单调性定义证明函数在某一区间上的增减性问题，是基础题．