Question

已知函数f（x）满足条件f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，x，y∈N^*，又f（1）=1，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：先令y=1，得到f（x+1）-f（x）=1+x，再分别取x=1，2，3，…x，利用累加法求出f（x）

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，x，y∈N^*，f（1）=1
令y=1，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）+x=f（x）+1+x，
即f（x+1）-f（x）=1+x，
当x=1时，f（2）-f（1）=1+1=2，
当x=2时，f（3）-f（2）=1+2=3，
当x=3时，f（4）-f（3）=1+3=4，
…
当x=x-1时，f（x）-f（x-1）=1+x-1=x，
左边相加，右边相加得，
f（x）-f（1）=2+3+…x，
∴f（x）=1+2+3+…x=

x(x+1)

2

．

点评：本题主要考查了函数解析式的求法，利用赋值法和累加法，培养了学生的转化能力和抽象思维能力，属于中档题．