Question

如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于F．GD是⊙O的切线，且与EC的延长线相交于点G，连接AD，交CE于点P．
（Ⅰ）证明：△ACD∽△APC；
（Ⅱ）若GD=

2

+1，GC=1，求PE的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明

AC

=

CD

=

AE

，可得∠ACE=∠ADC，利用∠CAP为公共角，可得△ACD∽△APC；
（Ⅱ）证明∠GED=∠ADE=∠CDA，可得∠GPD=∠GDP，所以GP=GD=

2

+1，利用GD²=GC•GE，求出GE，即可求PE的长．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，
∴

AC

=

AE

∵点C是弧AD的中点，
∴

AC

=

CD

=

AE

，
∴∠ACE=∠ADC，
∴∠CAP为公共角，
∴△ACD∽△APC；
（Ⅱ）解：连接DE，
∵GD是⊙O的切线，
∴∠GDX=∠CED，
∵

AC

=

CD

=

AE

，
∴∠GED=∠ADE=∠CDA，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GP=GD=

2

+1，
∵GD²=GC•GE，
∴GE=3+2

2

，
∴PE=GE-GP=2+

2

．

点评：此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．