Question

已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．
（I）若a=-1时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若a≤0，函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）求出a=-1时，函数f（x）和导数，求得切点和切线的斜率，即可得到切线方程；
（II）讨论当a=0时，当a＜0时，求出函数的单调区间和极值，判断也是最值，且与0的关系，即可判断零点的情况．

解答： 解：（I）若a=-1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

，
则切点为（1，1），切线的斜率为f′（1）=0，
故切线方程为y=1．
（II）当a=0时，f（x）=x在定义域（0，+∞）上没有零点，满足题意；
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）=1-

a

x

在定义域上的情况如下表：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

则f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
所以，当f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点．
综上所述，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，求极值，同时考查函数的零点问题与函数最小值的关系，属于中档题．