Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求三棱锥V C-B1FE的体积；
（Ⅲ）求二面角E-CF-B₁的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结BD₁，由已知得EF∥D₁B，由此能证明EF∥面ABC₁D₁．
（Ⅱ）由已知得CF⊥BD，DD₁⊥面ABCD，DD₁⊥CF，从而CF⊥平面EFB₁，即CF为高，由VB1-EFC=VC-B1EF，利用等积法能求出三棱锥V C-B1FE的体积．
（Ⅲ）由已知得二面角E-CF-B₁的平面角为∠EFB₁，由此能求出二面角E-CF-B₁的大小．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：连结BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，
∵EF为中位线，∴EF∥D₁B，
而D₁B?面ABC₁D₁，EF不包含于面ABC₁D₁，
∴EF∥面ABC₁D₁．
（Ⅱ）解：等腰直角三角形BCD中，F为BD中点
∴CF⊥BD，①
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥面ABCD，CF?面ABCD，∴DD₁⊥CF，②
综合①②，且DD₁∩BD=D，DD₁，BD?面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，即CF为高，CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B₁F=

BF2+BB12

=

2+4

=

6

，
B1E=

B1D12+D1E2

=

1+8

=3，
∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，
∴S△B1EF=

1

2

EF•B1F=

3 2

2

，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

2

S△B1EF•CF=

1

3

•

3 2

2

•

2

=1．
（Ⅲ）解：∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴二面角E-CF-B₁的平面角为∠EFB₁
由题意得EF=

3

，B1F=

6

，B1E=9
则EF2+B1F2=B1E2
故∠EFB₁=90°
∴二面角E-CF-B₁的大小为90°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．